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Poisson Distribution

描述单位时间/空间内稀有事件发生次数的离散分布，二项分布的极限形式。

Overview

Poisson 分布是概率论中重要的离散分布，用于建模固定时间或空间间隔内随机事件发生次数。典型场景：呼叫中心接到的电话数、某路口的交通事故数、放射性物质的衰变次数。

其核心特征是：事件发生的平均速率 \(\lambda\) 恒定，且事件之间相互独立。

Key Facts / Claims

概率质量函数

  • \(P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)，其中 \(k = 0, 1, 2, \dots\)
  • 均值：\(\mathbb{E}[X] = \lambda\)
  • 方差：\(\text{Var}[X] = \lambda\)（均值等于方差是 Poisson 的标志性特征）

从二项分布推导

  • 二项分布：\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
  • 设定 \(p = \frac{\lambda}{n}\)，保持 \(np = \lambda\) 不变
  • 当 \(n \to \infty\) 时：
  • \(\binom{n}{k} \approx \frac{n^k}{k!}\)
  • \((1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k} \approx e^{-\lambda}\)
  • 代入化简得：\(P(X=k) \approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\)

适用条件

  • 事件在不相交区间独立发生
  • 在极短区间内，事件发生概率很小
  • 平均发生率 \(\lambda\) 恒定
  • 两个事件不会同时发生
  • [[gaussian-distribution]] — 当 \(\lambda\) 很大时，Poisson 可用高斯近似
  • [[machine-learning-basics]] — 概率基础与统计推断
  • [[probability-basics]] — 概率论基本概念

Sources