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Activation Functions

神经网络非线性变换的核心组件，从 Sigmoid 到 GELU 的演进史。

Overview

激活函数为神经网络引入非线性，使其能够逼近任意复杂函数。从早期的 Sigmoid/Tanh 到现代的 ReLU 及其变体，再到 Transformer 时代的 GELU，激活函数的选择深刻影响着网络的训练动态和表达能力。

Key Facts / Claims

Sigmoid & Tanh（早期时代）

  • Sigmoid：\(\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\)，输出 \((0,1)\)，适合概率输出
  • Tanh：\(\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)，输出 \((-1,1)\)，零均值
  • 共同问题：两端饱和导致梯度消失；Sigmoid 输出非零中心

ReLU 家族（深度学习时代）

  • ReLU：\(\max(0, x)\) —— 计算简单，缓解梯度消失，但存在"神经元死亡"问题
  • Leaky ReLU：负半轴斜率 \(\alpha\)（如 0.01），缓解死亡问题
  • PReLU：\(\alpha\) 为可学习参数，自适应调整
  • ELU：负半轴为 \(\alpha(e^x - 1)\)，输出均值接近零，平滑负半轴
  • SELU：自带自归一化属性，配合 Lecun 初始化可使层输出保持零均值单位方差

现代激活函数（Transformer 时代）

  • Swish：\(x \cdot \sigma(x)\)，Google 提出，平滑非单调，表现优于 ReLU
  • GELU：\(x \cdot \Phi(x)\)，\(\Phi\) 为标准正态 CDF —— Transformer 标配
  • Softplus：\(\ln(1 + e^x)\)，ReLU 的平滑近似

特殊用途

  • Softmax：多分类输出层，将 logits 转为概率分布
  • Hard Sigmoid：计算高效的 Sigmoid 近似，用于移动端
  • Maxout：\(\max(w_1 x + b_1, w_2 x + b_2, ...)\)，表达能力最强但参数量大

使用注意事项

  • Sigmoid/Tanh 要求输入标准化（零均值、小方差），避免饱和
  • SELU 不建议与 Batch Normalization 同时使用（自归一化被干扰）
  • 现代大模型几乎统一使用 GELU 或 SwiGLU（Swish + Gating）
  • [[transformer]] — GELU 在 Transformer FFN 中的应用
  • [[machine-learning-basics]] — 感知器的阶跃激活函数是激活函数的雏形
  • [[diffusion-model]] — Score 网络中的激活函数选择影响训练稳定性

Sources