Poisson Distribution

Poisson Distribution

描述单位时间/空间内稀有事件发生次数的离散分布，二项分布的极限形式。

Overview

Poisson 分布是概率论中重要的离散分布，用于建模固定时间或空间间隔内随机事件发生次数。典型场景：呼叫中心接到的电话数、某路口的交通事故数、放射性物质的衰变次数。

其核心特征是：事件发生的平均速率 $\lambda$ 恒定，且事件之间相互独立。

Key Facts / Claims

概率质量函数

• $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k = 0, 1, 2, \dots$
• 均值：$\mathbb{E}[X] = \lambda$
• 方差：$\text{Var}[X] = \lambda$（均值等于方差是 Poisson 的标志性特征）

从二项分布推导

• 二项分布：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
• 设定 $p = \frac{\lambda}{n}$，保持 $np = \lambda$ 不变
• 当 $n \to \infty$ 时：
  • $\binom{n}{k} \approx \frac{n^k}{k!}$
  • $(1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k} \approx e^{-\lambda}$
• 代入化简得：$P(X=k) \approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$

适用条件

• 事件在不相交区间独立发生
• 在极短区间内，事件发生概率很小
• 平均发生率 $\lambda$ 恒定
• 两个事件不会同时发生

Related

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Sources

• Poisson 分布：概率质量函数的推导过程 — 辉少的博客原文