正交基和标准正交基

正交基和标准正交基

正交基是指向量空间的基，其中任何两个不同的基向量都是正交的。标准正交基不仅满足正交性，而且每个基向量的范数都是1。

正交性和单位长度的定义

• 正交性：如果向量 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 的点积为零，则它们正交，即 ( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 )。
• 单位长度：如果向量 ( \mathbf{u} ) 的长度为1，则 ( |\mathbf{u}| = 1 )，通过 ( \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = 1 ) 来验证。

格拉姆-施密特正交化过程

通过以下步骤，可以从任意一组线性无关的向量中生成正交基：

1. 设置 ( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 )
2. 对于 ( k = 2 ) 到 ( n )： [ \mathbf{u}k = \mathbf{v}_k - \sum{j=1}^{k-1} \frac{\mathbf{u}_j \cdot \mathbf{v}_k}{\mathbf{u}_j \cdot \mathbf{u}_j} \mathbf{u}_j ]

二维和三维空间的标准正交基例子

• 二维空间：向量 ( (1, 0) ) 和 ( (0, 1) )
• 三维空间：向量 ( (1, 0, 0) ), ( (0, 1, 0) ), ( (0, 0, 1) )