Poisson 分布：概率质量函数的推导过程

Poisson 分布用于描述在固定时间或空间内稀有事件发生的次数，比如电话呼叫中心的呼叫数量、银行中的顾客到达率、交通事故的发生频率等。Poisson 分布的概率质量函数（p.m.f.）是通过二项分布的极限推导出来的。在这个推导过程中，我们将逐步分析二项分布并得到 Poisson 分布的公式。

二项分布的引入

假设一个事件在每个时间段内发生的概率为 $p$，总共观察了 $n$ 个独立的时间段。在这种情况下，事件在 $n$ 次观察中恰好发生 $k$ 次的概率服从二项分布：

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\]

其中，$X$ 表示事件发生的次数，组合数 $\binom{n}{k}$ 代表从 $n$ 次观察中挑选出 $k$ 次发生事件的方式数。

设定稀有事件的参数

Poisson 分布描述的是单位时间内事件的发生次数，所以我们设单位时间内事件的平均发生次数为 $\lambda$。在二项分布中，将每次观察事件发生的概率 $p$ 表示为一个函数 $\frac{\lambda}{n}$，即

\[p = \frac{\lambda}{n}\]

这样设置的两个条件是：

• 当 $n \to \infty$ 时，$p \to 0$（单次发生的概率很小）；
• 总期望值 $np = \lambda$ 保持常数不变。

将 $p = \frac{\lambda}{n}$ 代入二项分布的公式：

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n - k}\]

对公式中的各项进行近似展开：

1. 组合数的近似：当 $n \to \infty$ 且 $k \ll n$ 时，组合数可以近似为：

   \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \approx \frac{n^k}{k!}\]

2. 幂次项的近似：对于 $\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n - k}$，当 $n \to \infty$ 时，可以使用极限公式 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}$。因此，

   \[\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n - k} \approx e^{-\lambda}\]

将以上近似代入公式，得到：

\[P(X = k) \approx \frac{n^k}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k e^{-\lambda}\]

进一步化简后得出：

\[P(X = k) \approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\]

得到 Poisson 分布的概率质量函数

通过以上推导，我们得到 Poisson 分布的概率质量函数：

\[f(k|\lambda) = P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]

其中，$k = 0, 1, 2, \dots$，$\lambda$ 是单位时间内事件的平均发生次数。这个公式描述了在单位时间内，事件发生 $k$ 次的概率。

总结

Poisson 分布的概率质量函数通过二项分布的极限推导而来，适用于描述单位时间或空间内独立、稀有事件的发生次数。这种分布广泛应用于电信、交通和制造业中来描述随机事件的发生频率。